Limit

FUNGSI

Oleh

 Arum Meta Mega Sari

NIM 131810301006

LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JEMBER

2013

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim. Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Pengetahuan tentang fungsi sangat penting bagi kehidupan,  karena dengan pengetahuan fungsi dapat diterapkan dalam kehidupan sehari hari. Contohnya untuk memecahkan soal – soal fisika juga ada yang mambutuhkan metode fungsi, dan tidak hanya itu,  metode fungsi juga di butuhkan dalam pelajaran ekonomi. Contohnya, untuk memperkirakan keuntungan maksimum dapat digunakan fungsi kuadrat dalam menyelesaikannya.

1.2  Rumusan Masalah

a.    Bagaimana aturan penulisan metode fungsi dengan aplikasi maple?

b.    Bagaimana menentukan daerah asal dan daerah hasil dengan aplikasi maple?

1.3 

2

Tujuan

a.    Mengetahui aturan penulisan metode fungsi dengan aplikasi maple?

b.    Mengetahui menentukan daerah asal dan daerah hasil dengan aplikasi maple?

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim. Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespodensi (padanan) yang menghubungkan setiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f (x) dari suatu himpunan kedua. Himpunan ini yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi.

4

Di dalam fungsi digunakan sebuah variabel. Variabel adalah sebuah simbol yang mengasumsikan sebarang nilai dari suatu himpunan nilai – nilai selama dalam pembahasan. Variabel- variabel biasanya menggunakan abjad ahir seperti x,y,z,u,v,dan w. Sedangkan untuk huruf abjad awal digunakan sebagai konstanta. Sebuah variabel y bisa dikatakan sebagai fungsi dari x apabila ada hubungannya antara variabel x dan variabel y sedemikian rupa sehingga masing – masing harga x dapat diasumsikan dengan harga y.

Contoh 1.y = 3x + 2, mendefinisikan sebuah hubungan antara variabel x dan y. Jadi apabila x = 0, 1, 2 maka masing – masing y = 2, 5, 8.

Variabel bebas dan variabel tidak bebas yaitu variabel yang nilainya (di dalam contoh diatas adalah x) disebut variabel bebas. Sedangkan variabel lainnya yang ditentukan (y) disebut variabel tidak bebas. Sehingga dapat dinyatakan y tergantung dari x.

Notasi fungsi untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g). Maka f(x), yang dibaca “f dari x” atau “f pada x”, menunjukan nilai yang diberikan oleh f terhadap x. Jadi jika f (x) = - 4, maka :

     f(2) = - 4 = 4

     f(-1) =  - 4 =  -5

Sebarang huruf bisa digunakan dalam notasi fungsi : jadi g(x), h(x), F(x) dan sebagainya mewakili fungsi dari x.(Purcell, 2003).

2.1 Komposisi fungsi

f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g” ). (f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)

5

Ilustrasi:

a. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi :
1. Tidak bersifat komutatifà(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Asosiatif à (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas I(x) = xà(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

2.2 Invers Fungsi

Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x
Sifat-Sifat Invers Fungsi:

1.      (f^–1)^–1(x) = f(x)

2.      (f o f^–1)(x) = (f^–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas

3.      (f o g)^–1(x) = (g^–1 o f^–1)(x)

6

Ingat: (f o g^–1)(x) ¹ (f o g)^–1(x)

b. Mencari invers fungsi

1. Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
2. Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f^–1(y)
3. Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f^–1(x), yang merupakan invers fungsi dari f.

2.3 Fungsi Linear

Grafik dari fungsi linear, y = ax + b atau px + qy + r = 0 berbentuk garis lurus.

                          Karena grafik dari fungsi linear berbentuk garis lurus, selanjutnya fungsi linear kita sebut sebagai persamaan garis lurus. Contoh-contoh dari persamaan garis lurus lainnya adalah y = x – 6, y = 3x – 7, 2x + 4y – 1 = 0, dan 3x – 8y + 8 = 0. Karena kita telah mengetahui bentuk dari grafiknya, kita tidak perlu untuk memplot banyak titik untuk menggambar grafiknya. Kita hanya perlu memplot 2 titik saja. Mengapa demikian? Karena dengan 2 titik berbeda, kita dapat melukis garis lurus yang melalui titik-titik tersebut.

                 Misalkan kita akan melukis grafik dari 2x + 3y + 9 = 0. Kita tentukan 2 titik yang memenuhi persamaan tersebut. Apabila kita pilih x = 0, kita mendapatkan y = –3. Bagaimana jika kita memilih x = –3? Ya, kita mendapat y = –1. Sehingga persamaan garis tersebut melalui titik-titik (0, –3) dan (–3, –1). Berikut ini grafik dari persamaan 2x + 3y + 9 = 0.

7

BAB 3. METODELOGI

3.1  Alat dan Bahan

a.    Komputer / laptop

b. Software

3.2  Prosedur

a.    Nyalakan PC

b.    Buka Software

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dari hasil praktikum kali ini, diperoleh hasil bahwa untuk mendapatkan hasil perhitungan tentang fungsi ada beberapa cara aturan penulisannya yaitu seperti biasa pertama kali kita ketikkan restart kemudian tanda titik koma (;). Dalam praktikum ini dipelajari beberapa aturan penulisan tentang fungsi yaitu diantaranya: fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik dan polinomial.

1.    Fungsi eksponen

 Dalam penulisan fungsi eksponen yaitu dengan cara mengetikkan huruf e kemudian jika ingin dipangkatkan yaitu dengan cara memberi tanda caping kemudian ketikkan akan dipangkatkan berapa dan terahir tambahkan tanda titik koma. Contoh: e^x;. Atau dengan cara exp^2;. Untuk perkalian atau pembagian fungsi eksponen aturannya sama seperti praktikum aljabar minggu lau. Contoh :

Ø  2*e(3/2);

Ø  2*(e^2)*e^(2*x);

2.    Fungsi logaritma

Dalam penulisan fungsi logaritma yaitu dengan cara mengetikkan log kemudian basisnya dengan cara menambahkan kurung siku lalu tanda titik koma. Sedangkan penggunaan tanda buka kurung digunakan sebagai besar log yang akan dicari. Contoh:

Ø  log[10];

Ø  log[2];

Ø  log[2](4);

Ø  Log[2](4);

3.    Fungsi Trigonometri

Dalam aturan penulisan fungsi trigonometri sama seperti biasanya yaitu dengan cara mengetikkan sin, cos, arcsin atau arccos terlebih dahulu kemudian buka kurung lalu ketikkan besaran yang akan dicari lalu tutup kurung, kemudian tanda titik koma. Contoh :

Ø 

10

sin(x);

Ø  cos(x);

Ø  arcsin(x);

Ø  arccos(x);

Ø  sin(30);

Dan untuk memperoleh hasil berupa bentuk desimal yaitu dengan cara menambahkan kata evalf di bagian depan kemudian ketikkan seperti diatas. Atau dengan cara evalf  kemudian buka kurung tanda persen (%) tutup kurung lalu jangan lupa tanda titik koma. Tanda persen tersebut menganalisis data diatasnya. Contoh:

Ø  evalf(sin(30));

Ø  sin(45);

Ø  evalf(%);

4.    Fungsi Hiperbolik

Dalam aturan penulisan fungsi hiperbolik yaitu sama dengan aturan penulisan pada fungsi trigonometri, hanya bedanya pada fungsi hiperbolik ditambahkan huruf h setelah sin , cos, arccos, atau arcsin kemudian ketikkan besaran yang akan dicari nilainya lalu tanda titik koma. Contoh:

Ø  sinh(x);

Ø  cosh(x);

Ø  arcsinh(x);

Ø  arccosh(x);

Jika ada sebuah nilai a, maka aturan penulisannya yaitu dengan cara ketikkan a kemudian tanda titik dua, lalu samadengan setelah itu masukkan nilainya. Sedangkan untuk menjabarkan nilai tersebut kedalam bentuk persamaan dengan cara ketikkan expand buka kurung simbol persen atau huruf a. Contoh:

Ø 

11

a:=(x+4)^3;

Ø  expand(a);

Ø  expand(%);

Sedangkan untuk menyederhanakan suatu persamaan dengan cara:

Ø  simplify(a);

Ø  simplify(x^2-6*x+9);

Ø  simplify(x^3-2*x^2+4*x+3);

           

Dan untuk memfaktorkan aturan penulisannya dengan cara:

Ø  factor(b);

Ø  factor(x^3+x^2+3*x);

Sedangkan untuk memperoleh nilainya dengan cara ketikkan solve atau jika ingin bentuk desimal yaitu dengan cara ketikkan fsolve. Bedeanya dengan solve yaitu jika hsilnya berupa akar maka diperoleh hasil tetap berupa akar. Sedangkan jika fsolve hasil yang diperoleh adalah nilai dengan bentuk desimal. Contoh:

Ø  W:=x^2-3;

Ø  fsolve(W);

Ø  solve(W);

Dan untuk mencari nilai polinomial yaitu dengan cara ketikkan polynomial kemudian titik dua lalu samadengan setelah itu masukkan persamaannya. Contoh:

Ø  polynomial:=24*x^5+105*x^4-10*x^2+17*x-10;

12

 

Ø  fsolve(polynomial,x=-5..5);

Dan jika ingin memperoleh nilai dari dua persamaan dengan cara subtitusi, cara ini seperti perhitungan manual dengan cara eliminas. Contoh:

Ø  c:=4*x^3+5*x-9;

Ø  d:=2*x-5;

Ø  subs(x=d,c);

Dan hal yang perlu diingat yaitu ketikkan restart setiap akan mendefinisikan nilai baru agar hasilnya tidak terpengaruh oleh data sebelumnya.

BAB 5. PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari hasil percobaan dapat disimpulkan bahwa perhitungan limit menggunakan aplikasi maple memiliki beberapa aturan yaitu pemfaktoran, penyelesaian suatu persamaan, penyederhanaan, subtitusi dan lain - lain. Yang didalam penggunaanya harus teliti agar tidak terjadi kesalahan.

5.2 Saran

            Hendaknya praktikan lebih menguasai materi dan jangan melakukan praktikum secara tergesa – gesa dan dalam melakukannya harus teliti agar tidak terjadi kesalahan.